Таблица приведения тригонометрических функций

Формулы приведения Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения. Пусть она при отражении перейдёт в точку Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором таблица приведения тригонометрических функций Пусть координаты радиус-вектора будут x; yа координаты радиус-вектора будут x'; y'. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны x; — y. Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла —α. Заменим в формулах и угол α на —α. Имеем Итак, доказано, что Выполним следующие преобразования: Итак, Аналогично доказываются формулы: Из последних формул следует, что Учтём теперь, что Тогда из вышеприведённых формул следует: Запишем все формулы приведения в виде таблицы. Основные формулы Обратимся снова к тригонометрической окружности. Построим прямоугольный треугольник AOC. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством. Разделим основное тригонометрическое таблица приведения тригонометрических функций на Получим: Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим: Из определений тангенса и котангенса следует: Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и —β см. Координаты этих векторов по определению таблица приведения тригонометрических функций функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами: 1. Имеем: Итак, получена следующая формула сложения: Заменим в этой формуле β на —β. Получим ещё одну формулу. Имеем: Значит, Заменим в этой формуле β на —β, получим ещё одну формулу. Из этих формул непосредственно следует, что Последняя формула справедлива при Эта формула справедлива при Заменяя в последних формулах β на —β, получим ещё две формулы: Последняя формула справедлива при Эта формула справедлива при Имеем: 1 2 Ответ. Формулы кратного аргумента Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Совершенно аналогично получается формула Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Таблица приведения тригонометрических функций можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. Универсальная подстановка Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде: Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, таблица приведения тригонометрических функций Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде: Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через а именно: Говорят, что замена является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций. Формулы понижения степени Из формулы косинуса двойного угла следуют формулы понижения степени: Формулы половинного аргумента Если в последних формулах заменить α на то получатся формулы половинного аргумента: Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно: Совершенно аналогично получается формула Преобразование произведения в сумму Запишем теперь две формулы сложения: Сложим их: Вычтем их: Если рассмотреть две другие формулы сложения: и сложить их, то получится Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму. Из этой замены следует, таблица приведения тригонометрических функций и последняя формула имеет вид Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение.

См. также